Тригонометрия


 переменные и функции
Числовые функции — это соответствие между элементами двух множеств, при котором каждому элементу одного множества (переменной, или аргументу) ставится в соответствие не более одного элемента другого множества (значение функции)


 периодические функции
Периодическая функция - для которой выполнено условие f(x)=f(x+Т)=f(x-Т). Число Т называют периодом функции.


 радианы и градусы
Измерение угла: если окружность покрыть равномерной сеткой от 0 до 2π (или от 0 до 360°), то любой угол можно измерить в радианах (долях 2π) или градусах. Радианная мера угла α = (π/180)⋅(α в °). Очевидно: α = α ± 2π = α ± 360°


 сумма углов треугольника и многоугольника
Сумма углов любого треугольника α1+α2+α3 равна π = 180°, сумма углов многоугольника (N-угольника) равна π⋅(N-2) = 180°⋅(N-2).


 прямоугольный треугольник
Это треугольник, один из углов которого равен 90° = π/2. Стороны x, y при прямом угле называются катетами, а третья сторона - это гипотенуза


 теорема Пифагора
Прямоугольный треугольник задает простое соотношение между его сторонами: сумма квадратов длин катетов x, y равна квадрату длины гипотенузы: x² + y² = z²


 sin и cos, tg и ctg
Для острого угла α прямоугольного треугольника можно определить синус, как отношение противолежащего к углу катета y к гипотенузе z: sin(α) = y/z, косинус - как отношение прилежащего катета x к гипотенузе: cos(α) = x/z, тангенс и котангенс - как отношение катетов: tg(α) = y/x = sin(α)/cos(α) ctg(α) = x/y = 1/tg(α)


 теорема синусов
Для любого треугольника со сторонами х1, х2 и х3 и противолежащими им углами α1, α2 и α3 справедливо: x1/sin(α1) = x2/sin(α2) = x3/sin(α3) = 2R, где R - это радиус окружности, описанной вокруг треугольника


 теорема косинусов
Для любого треугольника со сторонами a,b,c и углом α между сторонами b,c справедливо: a² = b² + c² - 2⋅b⋅c⋅cos(α). Следствие: теорему Пифагора, при α=90°.


 единичная окружность
Это окружность радиусом R=1. По точкам (x,y) на ней удобно отсчитывать углы и определять тригонометрические функции (в том числе, для α < 0 и α > π/2). В частности, синус sin(α) = y, косинус cos(α) = x, тангенс tg(α) = y/x, котангенс ctg(α) = x/y, секанс sec(α) = 1/cos(α) = 1/x, косеканс csc(α) = 1/sin(α) = 1/y.


 тригонометрические функции: свойства
Некоторые свойства тригонометрических функций: все они периодические sin(x)=sin(x+2π), четные cos(-x)=cos(x) или нечетные sin(-x)=-sin(x), tg(-x)=-tg(x)


 тригонометрические тождества и формулы
Основное тригонометрическое тождество: sin²(x)+cos²(x)=1, формулы приведения sin(k⋅π/2-x)=cos(x), tg(π/2+x)=-ctg(x) и т.п., формулы сложения, двойного угла, половинного угла, преобразование суммы тригонометрических функций в произведение и т.д.


 arcsin, arccos, arctg
Обратные тригонометрические функции (круговые функции, аркфункции) — математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. Арксинус - это угол, синус которого равен х, т.е. если sin(α) = х, то арксинус arcsin(х) = α. Аналогично, арккосинус arccos(х) = α, если cos(α) = x и арктангенс arctg(х) = α, если tg(α) = x. Причем arcsin определяет -π/2 ≤ α ≤ π/2, а arccos для 0 ≤ α ≤ π. Очевидно: arcsin(-х) = -arcsin(х), arccos(-х) = π - arccos(х).


 гармонические колебания
Гармонический закон колебаний - это y(t) = A⋅cos(ω⋅t+φ) или y(t) = A⋅sin(ω⋅t+φ) = A⋅cos(ω⋅t+φ-π/2). Параметры A, ω, φ - это амплитуда, круговая частота и начальная фаза колебаний. Период колебаний равен Т = 2π/ω.


 Анна Малкова: тригонометрия
Курс по тригонометрии от А.Малковой: четные и нечетные функции, периодичность, градусы и радианы, тригонометрические тождества, синус, косинус, тангенс, уравнения и неравенства