Алгебраические уравнения > Линейные системы > Алгоритм Гаусса

Алгоритм исключения Гаусса

Алгоритм последовательных исключений Гаусса основан на преобразовании матрицы A линейной системы Ax=b к треугольному виду (т.е. к форме, когда все элементы ниже главной диагонали матрицы являются нулевыми). Точнее, СЛАУ Ax=b заменяется эквивалентной системой с другой матрицей A* и другим вектором правых частей b*, но имеющей то же решение, что и исходная система.

Алгоритм состоит в следующем:

1. Проводится прямой ход исключения неизвестных путем подстановки одних уравнений в другие. Используются следующие формулы:
aij = - aij / ajj
aik = aik + aijaik
bj = bj + aijbj
j = 1,2, ... N-1     i=j+1,  j+2, ... N   k=j+1,  j+2, ... j+N  

2. При помощи обратного хода определяются все неизвестные х. Для этого хN сразу определяется из последнего уравнения, в которое не входят другие х (матрица системы теперь является трехдиагональной). Затем хN  подставляется в предыдущее  уравнение, из которого сразу определяется хN-1 и т.д.